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viernes, 29 de abril de 2011

Propiedad de la adición en  Z

En el conjunto de los números enteros se cumplen todas las propiedades que tú ya conoces para la adición. Estas son: clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro.
En ejemplos:
  • -2 + -8 = -10 Clausura, porque toda adición tiene resultado.
  • -6 + +2 = +2 + -6 Conmutativa, porque el orden de los sumandos no cambia la suma.
  • (-3 + +4) + -2 = -3 + (+4 + -2) Asociativa, porque sólo podemos sumar 2 números a la vez, y lo representamos con paréntesis.
  • +8 + 0 = +8 Elemento neutro el 0, porque cualquier entero sumado con 0 tiene como suma a dicho entero.
Elemento inverso aditivo
En la adición de enteros aparece una nueva propiedad conocida como elemento inverso aditivo. Se llama así al número que, sumado con otro, nos da como suma el elemento neutro.
En otras palabras, será sumar 2 números enteros cuya suma nos dé 0.
¿Cuáles serán los números que cumplan esa condición?
Sumemos:
+6 + -6 = 0
-18 + +18 = 0
Quiere decir que llamamos elemento inverso aditivo al opuesto de un número entero.
Entonces, el inverso aditivo de -327 es +327 y el inverso aditivo de +4 es -4, etcétera.

17 comentarios:

  1. Propiedad conmutativa( respecto a la multiplicacion)

    Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualquiera x e y:

    Propiedad asociativa

    La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualquiera x, y, z, se cumple:

    (x·y)z = x(y·z)

    En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

    Por ejemplo:

    (8×3)×2 = 8×(3×2)
    24×2 = 8×6
    48 = 48

    Propiedad distributiva

    La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

    x.(y + z) = x.y + x.z

    Asimismo:

    (x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

    Elemento neutro

    También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

    1·x = x

    es decir, la multiplicación tiene un elemento neutro que es el 1.

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  2. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  3. POTENCIACION

    La potenciación consiste en multiplicar un número que viene a ser la base, por sí mismo varias veces.

    El número de veces que se lo ha de multiplicar se llama exponente. Se dice que la base esta elevada a ese exponente.

    El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes dados, por ejemplo:

    2^4 . 2^3 = (2 . 2 . 2 . 2) . (2 . 2. 2)
    16 . 8 = 2^4+3 = 2^7
    128 = 128


    El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la resta entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, por ejemplo:

    2^5 : 2^3 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) . (2 . 2. 2)
    32 : 8 = 2^5–3 = 2^2
    4 = 4


    La potenciación distribuye a la multiplicación y a la división, por ejemplo:

    Para la multiplicación:
    (5 . 3)^2 = 5^2 . 3^2
    15^2 = 25 . 9
    225 = 225

    Para la división:
    (10 : 2)^2 = 10^2 : 2^2
    5^2 = 100 : 4
    25 = 25


    Lisbeth Ramirez
    C.I. 10.380.485

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  4. Es importante conocer las propiedades matemáticas porque son las únicas que nos permitirán conocer lo seguro, mientras navegamos en el maravilloso mundo de los números.
    Entre las tantas propiedades existentes en su campo, las de potencia son fundamentales; porque nos permiten reducir de alguna manera la expresión., pues, este nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí misma la base. En caso de que sea un número entero. Si es un número fraccionado El exponente nos indica cuantas veces debemos multiplicar por sí mismos el numerador y el denominador.
    Es importante saber también que las potencias tienen sus propios significados en cada una de sus aéreas, aunque tengan el mismo significado y la misma composición, su aplicación es distinta, porque se persiguen fines distintos (ninguno adverso a su significado).

    Es de suma importancia conocer que;

    si la Potencia de base entera negativa:

    Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

    a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

    (_ a) n (par) = +a n
    Ejemplos:

    (5) 2 = 5 • 5 = +25 = 25

    (2) 8 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = +256 = 256

    b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

    (-a) n (impar) = -a n
    Ejemplos:

    (-2) 3 = -2 • -2 • -2 = -8

    (-3) 3 = -3 • -3 • -3 = -27

    Para comprender esto de manera mas fácil aquí armamos un cuadro que nos permite ver de manera ordenada las posibilidades existentes.

    Base Exponente Potencia

    Positiva Par Positiva

    Positiva Impar Positiva

    Negativa Par Positiva

    Negativa Impar Negativa

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  5. Algunas propiedades en la potencia en Z:

    Multiplicación de potencias de igual base:
    a^m · a^n = a^m+n
    Ejemplo:
    2^3 · 2^4 · 2^2 = 2^3+4+2 = 2^9

    División de potencias de igual base:
    a^m : a^n = a^m-n
    Ejemplo:
    2^3*2^4/2^2 = 2^(3+4-2) = 2^5

    Potencia de exponente cero:

    a^0 = 1, a^0
    Ejemplo:
    5^0 · (-5)^0 · 5 = 1 · 1 · 5 = 5



    Luis Leal
    18.874.074
    Sec. Informática.

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  6. EFECTUEMOS LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

    Multiplicación:

    (2x^2y)^3 . (-3xy^2)^2 =
    8x^6y^3 . 9x^2y^4 =
    72x^8y^7


    División:

    36x^4y^3:(-12x^4y)
    36 : -12 = -3
    x^4 :x^4 = x^0
    y^3 : y = y^2
    = -3y^2 (Recordemos que x^0 es = 1)

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  7. Hemos visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas propiedades.

    Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está siempre multiplicando.

    En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:

    Si se quieren sumar dos potencias de igual base: 3^2 + 3^5, se observa que esta operación indica lo siguiente: 3 . 3 + 3 . 3 . 3 . 3 . 3

    Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas.

    De manera que la expresión más sencilla para la operación anterior es tal como se escribió al principio: 3^2 + 3^5

    Otro caso en el que debe tenerse cuidado es en la suma de potencias como las siguientes: 2^3 + 5^3

    Es muy importante convencerse de que 2^3 + 5^3 es diferente a (2 + 5)^3

    La manera más segura de convencerse es calculando ambas operaciones:

    2^3 + 5^3 = 8 + 125 = 133
    (2 + 5)^3 = 7^3 = 343

    De esta manera podemos comprobar que 2^3 + 5^3 es diferente a (2 + 5)^3 porque los resultados no son los mismos.



    LISBETH RAMIREZ
    C.I. 10.380.485

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  8. Propiedades de la multiplicación en Z
    En la multiplicación de números enteros se cumplen las mismas propiedades que en los cardinales, es decir, encontramos:

    •Propiedad de clausura: toda multiplicación de números enteros tiene resultado en Z. Por ejemplo: -3*5= -15 / -5*-6 = -30 / 5*9 = 45

    • Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo:
    -4*8 = -32 / 8*-4 = -32

    •Propiedad asociativa : para multiplicar más de 2 factores, es necesario utilizar paréntesis que indican orden de solución.
    (-3*5)* 2 = -3 * (5 * 2)
    -15*2 = -3 * 10
    -30 = -30

    •Propiedad del elemento neutro : todo número multiplicado por el entero 1 tiene como producto al mismo número.
    -15 * 1 = -15 / 5 * 1 = 5

    •Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: la multiplicación se distribuye con la adición, es decir, se reparte para los sumandos y deja la obtención de la suma para el final.
    2 * (-3 +8 ) = (2 * -3) + (2 * 8)
    2 * 5 = ( -6 ) + (16)
    10 = 10

    •Propiedad absorbente: todo entero multiplicado por 0 tiene al 0 como producto.
    5 * 0 = 0 / -5 * 0 = 0

    Howard Garcia.13.203.409

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  9. Potenciación con base en Z y exponente natural

    En el siglo XVII vivió en Francia un abogado llamado Pierre de Fermat, quien en sus tiempos libres desarrolló su genio matemático, logrando resultados importantes en varias ramas de la Matemática.
    Pero uno de los hechos que lo hizo más famoso entre los matemáticos profesionales y aficionados durante 350 años fue el planteamiento que hizo en uno de sus escritos y que fue llamado luego "El Último Teorema de Fermat''.
    (Un teorema es una afirmación que requiere ser demostrada para que se considere verdadera. Mientras esa afirmación no sea demostrada, se le llama conjetura).
    La conjetura que hizo tan famoso a Fermat afirma que no existen números enteros x, y, z, que verifiquen la ecuación
    Xn + yn =zn

    Cuando n es mayor que 2.

    Para n=2 sí existen enteros que satisfacen esa ecuación. Por ejemplo:
    32 + 42 = 52 / 9 + 16 = 25
    62 + 82 = 102 / 36 + 64 = 100

    Pero para n mayor que 2 nadie podía encontrar soluciones, pero nadie había podido probar, hasta el año 1993 que realmente no existía ninguna.

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  10. Respecto a ecuaciones:
    Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones de primer grado en que sólo aparece una incógnita llamada con frecuencia ecuaciones lineales.

    Este foro se basa en formular y resolver estas ecuaciones yo les voy a dejar la primera ecuación y quien la resuelva deberá dejar otra, ejemplo:

    Encontrar un número que si se multiplica por 5 y se le suma 3 al resultado, da el mismo valor que si se multiplica por 8 y se le suma 1 al resultado.

    Primero se le debe asignar una letra al número que se busca, por ejemplo, x.

    Al número “x” se le multiplica 5; 5x, luego se le suma 3 y se expresa: 5x + 3, luego habla de multiplicarle 8 y luego sumarle 1 al resultado, es decir 8x + 1.

    5x + 3 = 8x + 1

    Luego de estar formada la ecuación se despeja “x” que es la incógnita.

    5x – 8x = 1-3

    -3x = 2

    X = 2 / 3

    Ahora les dejo este planteamiento para que formulen esta ecuación, la primera persona que resuelva este problema formulará otro:

    El doble de la edad que tenía una persona tres años atrás es la mitad de la edad que tendrá de aquí a 6 años. ¿Cuántos años tiene ahora?
    yo lo hice asi no estoy seguro del procedimiento me ayudan con este ejercicio de la plataforma:
    2x -3 = ½ x + 6
    2x – 1/2x = 6 + 3
    X (2 – 1/2 ) = 9
    X (3/2) = 9
    X = 9 * 2/3 = 18 / 3 = 6

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  11. En la multiplicación de números enteros se cumplen las mismas propiedades que en los cardinales, es decir, encontramos:

    Propiedad de clausura : toda multiplicación de números enteros tiene resultado en Z. Por ejemplo:

    -2 * 5 = -10

    Propiedad conmutativa : el orden de los factores no altera el producto. Por ejemplo:

    -2 * 4 = 4 * -2
    -8 = -8


    Propiedad asociativa : para multiplicar más de 2 factores, es necesario utilizar paréntesis que indican orden de solución.

    (-2 * 8) * -3 = -2 * (8 * -3)
    -16 * -3 = -2 * -24
    48 = 48

    Propiedad del elemento neutro : todo número multiplicado por el entero 1 tiene como producto al mismo número.

    -12 * 1 = -12

    Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: la multiplicación se distribuye con la adición, es decir, se reparte para los sumandos y deja la obtención de la suma para el final.

    2 * (-5 + 4) = (2 * -5) + (2 * 4)
    2 * -1 = -10 + 8
    -2 = -2

    Propiedad absorbente: todo entero multiplicado por 0 tiene al 0 como producto.

    -3 * 0 = 0

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  12. Definición recursiva:

    Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

    x * 0 = 0

    Notación De La Multiplicacion:

    La multiplicación se indica con un aspa (×) o el punto medio (·). En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco (*), sobre todo en computación (este uso tiene su origen en FORTRAN), pero está desaconsejado en otros ámbitos y sólo debe utilizarse cuando no hay otra alternativa. A veces se utiliza la letra equis (x), pero esto es desaconsejable porque crea una confusión innecesaria con la letra que normalmente se asigna a una incógnita en una ecuación. Por último, se puede omitir el signo de multiplicación a menos que se multipliquen números o se pueda generar confusión sobre los nombres de las incógnitas, constantes o funciones (por ejemplo, cuando el nombre de alguna incógnita tiene más de una letra y podría confundirse con el producto de otras dos). También suelen utilizarse signos de agrupación como paréntesis (), corchetes ([]) o llaves ({ }). Esto mayormente se utiliza para multiplicar números negativos entre sí o por números positivos.

    Si los factores no se escriben de forma individual pero pertenecen a una lista de elementos con cierta regularidad se puede escribir el producto mediante una elipsis, es decir, escribir explícitamente los primeros términos y los últimos, (o en caso de un producto de infinitos términos sólo los primeros), y sustituir los demás por unos puntos suspensivos. Esto es análogo a lo que se hace con otras operaciones aplicadas a infinitos números (como las sumas). [El producto de infinitos términos se define como el límite del producto de los n primeros términos cuando n crece indefinidamente].

    Así, el producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 se puede escribir:

    1 . 2 . ... . 99 . 100

    mientras que el producto de los números pares del entre 1 y 100 se escribiría:

    2 . 4 . 6 . ... . 100

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  13. Potenciacion:

    La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

    Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

    Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

    an = ax ... ax
    ___________
    n

    Emil J Lazaro
    C.I 23.674.540
    Men. Informatica

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  14. El doble de la edad que tenía una persona tres años atrás es la mitad de la edad que tendrá de aquí a 6 años. ¿Cuántos años tiene ahora?
    2x -3 = ½ x + 6
    2x – 1/2x = 6 + 3
    X (2 – 1/2 ) = 9
    X (3/2) = 9
    X = 9 * 2/3 = 18 / 3 = 6
    x = 6
    2(6) -3 = ½ (6) + 6
    12 – 3 = 3 + 6
    9 = 9
    Edad: 9 años

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  15. La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.

    La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

    En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

    -Potencia de exponente 0: Todo número elevado a la potencia 0 siempre es igual a uno, como por ejemplo:

    (7)º = 1
    (45678)º = 1

    -Potencia de exponente 1: Todo número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo, como por ejemplo:

    (5)' = 5
    (65)' = 65

    -Potencia de exponente 2: La potencia 2 se lee: "Elevado al cuadrado", quiere decir, dos veces ese número, como por ejemplo:

    (6)² = 6 x 6 = 36
    (7)² = 7 x 7 = 49

    Se multiplica dos veces el mismo número.

    -Potencia de exponente 3: La potencia se lee: "Elevado al cubo", quiere decir, tres veces ese número, por ejemplo:

    (5)³ = 5 x 5 x 5 = 125
    (4)³ = 4 x 4 x 4 = 64

    Se multiplica tres veces el mismo número.

    -Potencia de exponente "n", con cualquier número que proporcionalmente da la cantidad de número a multiplicarse:

    a^n = a x a x a x a....... x a

    Como por ejemplo:

    (8)^4 = 8 x 8 x 8 x 8 = 4096 (Cuatros veces el mismo número)
    (7)^11 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 1977326743 (Once veces el mismo número).

    -Potencia de base 10:

    Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades de exponente, como por ejemplo:

    (10)' = 10 =10
    (10)² = 10 x 10 =100
    (10)³ = 10 x 10 x 10 =1000
    (10)^4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000


    MARIA ROMERO
    C.I.14.795.266

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  16. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  17. MUY BIEN DIANA FELICIDADES POR TU BLOGQUEST...

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